万物皆数：从史前时期到人工智能，跨越千年的数学之旅

1. 数学是人类的发明，还是独立的存在？ 数学家是创造者，还是发现者？ ·鹦鹉螺的外壳、松果的正向与逆向螺纹……数学原理是否掌控着自然选择的优解？ ·数列基本性质的几何表示，何以构成美妙丰富的曼德博集合？ ·史前时代的制陶工匠已经发现了让花纹保持不变的全部7种几何变换 ·阿拉伯的艺术家们先于定理一步，在阿尔罕布拉宫留下了有且仅有的17种几何密铺 ·GPS导航仪发出的“向左转、向右转”指令，是使用正弦或余弦计算得出的即时结论 追寻人类历史上的提问者、研究者，感受日常生活中数学的奇妙与优雅 2. 在复杂的研究对象与简洁的表达式之间建立令人目眩神迷的联系，即数学美之核心 ·美的定理是朴素的，没有冗余的边角料，没有随意的例外，也没有毫无用处的差别 ·美的定理是大音希声，是用几个字概括的真理精髓，是无懈可击的完美 你观察过鹦鹉螺的外壳吗？注意过松果表面的螺纹吗？侦探剧中确定嫌疑人位置的三角定位是什么原理？阿尔法狗的算法与数学有哪些关联？ 在史前时代，数学是为了实际应用而出现的。数字被用来计算羊群的数量，几何图形被用来测量田地并绘制道路。自那时以来，很多艺术家、创作者、匠人或者单纯的梦想家和好奇者，在无意中踏入了数学的领地。他们是不自觉的数学家，是人类历史上早的提问者、早的研究者、早的头脑风暴践行者。如果想了解数学到底是什么，我们就必须追随他们的脚步，因为一切正是因为他们而起。 本书将带领我们穿越回史前时代、四大文明古国、欧洲中世纪与文艺复兴时期，也会带领我们漫步于巴黎卢浮宫与发现宫。作者巧妙运用历史学的方法，构建了无数历史或现今的场景，将数学从亭台楼阁之上带入我们的日常生活，将数学之美化为一篇篇优美的文字，娓娓道来。 “大部分人是喜欢数学的，但问题在于很多人并不了解这门学科。”如果你从来没有了解过数学，如果你讨厌数学，何不考虑给这门学科第二次机会呢？跟随作者回顾这门人类历史上不可思议、迷人的学科发展至今的曲折历程，认识那些通过意外发现和奇思妙想而创造了历史的人。你一定不会后悔的。

第一章 不自觉的数学家 … 001 第二章 数字的形成 … 017 第三章 不习几何者不得入内 … 033 第四章 定理时代 … 049 第五章 一点儿方法 … 071 第六章 从 π 到坏 … 087 第七章 零和负数 … 103 第八章 三角原力 … 119 第九章 面对未知 … 139 第十章 数列 … 153 第十一章 虚数的世界 … 165 第十二章 数学语言 … 181 第十三章 世界的字母表 … 201 第十四章 无穷小 … 217 第十五章 测算未来 … 231 第十六章 计算器时代的到来 … 251 第十七章 未来的数学 … 269 结　语 … 289 扩展阅读 … 293 参考文献 … 294

第一章 不自觉的数学家 回到巴黎，我决定从位于城市中心位置的卢浮宫博物馆开始我们的征程。在卢浮宫搞数学？这看上去可能不太搭调。这座曾经的皇家宫殿、如今的博物馆，看上去是画家、雕塑家、考古学家或者历史学家的领地，总之不会是数学家。然而，我们就是要在这里重新建立一种新的“第一印象”。 来到卢浮宫，我看到了屹立于拿破仑庭院中心巨大的玻璃金字塔，这似乎就是一封来自几何学的请柬。但是今天，我和更古老的上古时代有个约会。我走进博物馆，时间机器正式开启。我从法兰西的国王们面前逐一经过，又掠过文艺复兴时期和中世纪，最后回到了遥远的古希腊时代。一个展厅接着一个展厅，我看见了古罗马时期的雕塑、古希腊花瓶和古埃及的石棺。我还要再回到更久远的过去，于是，我终于进入了史前史时期。后退了这么多个世纪，我必须逐渐忘掉所有的事情。忘掉数字，忘掉几何学，忘掉文字。在最初的最初，没有人知道任何事情，也没有什么东西是需要被知道的。 首先，让我们回到1万年前，驻足于美索不达米亚。 其实仔细想想，我应该还能回到更久远的过去。让我再继续后退，退回150万年前，回到旧石器时代的初期。在这个阶段，原始人类还没有学会用火，所谓的“智人”根本还是天方夜谭。此时的世界由亚洲和非洲的直立人统治，或许还有一些尚未被考古发现的直立人的亲戚。这是石器的时代，“手斧”正流行。 在营地的一个角落里，琢磨匠人们正在工作。其中一人拿起了一块没有被打磨过的燧石，是他几小时之前收集起来的。他坐在地上（可能是盘腿而坐），将这块燧石放在地面上，一只手固定住这块燧石，另一只手握住另一块大质量的石头，用它敲击燧石的边缘，一块碎片应声而落。他看到了碎片，然后转了转手里的燧石，再次敲击另一侧的边缘，使燧石的边缘形成锋利的棱脊。剩下的就是在整个轮廓上重复操作了。在某些部位，燧石太厚或者太大了，所以需要削掉很大一块，来达到匠人最终想要实现的效果。 “手斧”形状的出现，既不是巧合，也不是灵光一闪。它是经过一代又一代古人的思考、琢磨、传承而最后实现的。我们发现了好几种不同类型的手斧，随着所处时期和发现地点的不同而有所区别。有一些是具有凸出尖端的水滴形；另外一些更浑圆的，看上去像是蛋形；还有一些几乎没有圆角，更接近等腰三角形。 然而无论是哪种手斧，都有着一个共同点：对称。到底是因为这种几何构造的实用性，还是仅仅出于某种审美意图，促使我们的老祖宗们坚持使用这种构造呢？今天的我们很难弄清楚这一点。可以肯定的是，这种对称不可能是一个巧合。琢磨匠人应该预先设计好了自己的打磨计划，在完成手斧之前就考虑好了形状。对于要被打磨的燧石，他们在头脑中构建了一个抽象的形象。换句话说，他们在脑海中“搞数学”。 当这位琢磨匠人最终完成这个手斧之后，他会仔细观察这件新工具⸺伸直手臂，将手斧置于光线下，更好地观察它的轮廓，在某些锋利边缘处敲掉两三小块碎渣来完善手斧的形状，最终，他得到了一件满意的作品。这一刻，他的感受会是怎样的呢？他是否已经感觉到了这种由科学创造带来的巨大的喜悦之情？即从头脑中的一个抽象概念出发，理解和塑造外部的世界。不管怎样，抽象概念被发扬光大的时刻，此时还没有到来。这时还是实用主义大行其道的时期⸺手斧可以用来砍树、割肉、在毛皮上钻洞，以及挖地。 好吧，其实我们并不是要在这个问题上做进一步的研究。毕竟这些对于史前史的阐释看上去都太不靠谱，就让这些古老的时代在历史中继续沉睡吧，而我们则回到我们的冒险的真正起点：公元前8000年的美索不达米亚平原。 在新月沃土上，有一块区域，在未来我们将称其为伊拉克，此刻正在进行着新石器时代的革命。自古以来，人类就在这一地带定居。在北部高原，游牧民族成功地安定了下来。这个地区可以算作是所有最新发明的“实验室”。由未烧制加工的泥砖生坯搭建成的房屋形成了人类历史上的第一批村落，最有干劲儿的一批建造者甚至还盖起了小楼。此时的农业是一种先进的技术，温和的气候使得非人工灌溉的农作物的生长成为可能；动植物逐渐地被驯化；陶器的出现也正在萌芽之中。 嘿，好吧，那就让我们来聊一聊陶器吧！因为，虽然这一时期的很多证据都消失了，不可挽回地散佚在了时光的隧道中，但是考古学家们还是发掘出了数千件陶器：陶盆、花瓶、罐子、盘子、陶碗……在我周围的玻璃橱里，塞满了各种陶器。最古老的陶器可以追溯到9000年以前，从一个展厅到另一个展厅，好像有“小拇指”的小石子引路一般，带领我们穿越若干个世纪。陶器形状各异，大小不一，它们的装饰、塑形、彩绘或者雕花也都不一样。有一些陶器有“脚”，有一些陶器有手柄。有的陶器完整，有的布满裂痕，有的碎裂，有的是重新修复的。有一些陶器，却只剩下一些零星的残片。 陶器是火的最初艺术品，随后才是青铜、铁和玻璃。使用黏土⸺这种具有可塑性的、能够在潮湿的地区大量获取的泥土，陶工能够随心所欲地塑造自己的作品。当陶工塑造出满意的形状之后，只需要将生坯风干几天，然后送入窑中烈火烧制，就能使整件陶器定型。人类掌握这种技术的时间已久。早在2万多年以前，人类已经在用这种方法烧制小型陶像。然而，直到近来，伴随着游牧民族的定居，人们才开始烧制日常生活中经常使用的陶器。新的生活方式需要存储的工具，于是人们烧制出了两臂环抱那么大直径的罐子！ 这些陶土容器迅速成了日常生活的必需品，以及村庄集体组织的必要用品。接下来，人们开始制作各种耐用的餐具，不管造型好不好看。不久之后，陶器上出现了装饰；又过了一段时间，开始出现了不同的制作流派。有些匠人在陶器生坯还未风干的时候，用贝壳或者树枝在上面印刻花纹，然后再送入窑中烧制；有一些匠人先烧制风干的陶器，然后再用石器雕刻出花纹；还有一些匠人喜欢在陶器外侧刷上一层天然的染色涂料。 我一一走过东方古文物部分的展厅，由美索不达米亚人设计的、丰富的几何图形让我感到惊奇。正如我们的祖先用石头精心琢磨出手斧一样，这些对称性实在是太精巧了，不可能是未经过深思熟虑的随性之作。其中，花瓶边缘一周的“腰线”尤其引起了我的注意。 所谓“腰线”，就是一种带状的、围绕着整个罐子外侧一周的装饰花纹，表现为同一种纹样的不断重复。在所有常见的腰线中，有三角形锯齿状花纹，还有由相互缠绕的两条花纹构成的腰线，然后是人字交错的腰线、方形雉堞状的腰线，以及带尖斜方形、打了阴影线的三角形、同心圆…… 当你从一个地区的展品看到另一个地区的展品，或者从一个时期看到另一个时期，你就能发现一些模式：有一些花纹非常流行，它们被不断地使用、变形，通过多种方式被改善。然后，几个世纪过去，这些模式被“淘汰”了，被另外一些当时流行的花纹取代。 一路看下去，然后我作为数学家的灵魂被点亮了。我看到了对称、旋转、平移。然后在大脑中，我开始分类、整理。我多年来研究的几个定理浮现在脑海中，而我需要的，正是几何变换的分类。我拿出笔记本和铅笔开始涂抹起来。